Matematika Math kelas 11, Bab persamaan lingkaran Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X positif dan menyinggung garis [tex]y=\frac{4}{3} x[/tex] serta melalui titik [tex](4,5\frac{1}{3} )[/tex]

alechalvorsonulv – April 02, 2023

Math kelas 11, Bab persamaan lingkaran

Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X positif dan menyinggung garis [tex]y=\frac{4}{3} x[/tex] serta melalui titik [tex](4,5\frac{1}{3} )[/tex]

Persamaan lingkarannya adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\left ( x-\frac{20}{3} \right )^2+\left ( y-\frac{10}{3} \right )^2=\left ( \frac{10}{3} \right )^2} }[/tex]

PEMBAHASAN

Persamaan lingkaran adalah tempat kedudukan titik titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Dalam hal ini, titik tersebut adalah titik pusat lingkaran. Persamaan lingkaran yang berpusat di (p,q) dapat ditulis dalam bentuk :

[tex](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/tex]

Dengan :

(p,q) = titik pusat lingkaran

r = jari jari lingkaran

Jika suatu lingkaran yang berpusat di (p,q) bersinggungan dengan garis [tex]ax+by+c=0[/tex], jari jari lingkarannya dapat dicari dengan rumus :

[tex]\displaystyle{r=\left | \frac{ap+bq+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |}[/tex]

.

DIKETAHUI

Persamaan lingkaran :

- Menyinggung sumbu x positif

- Menyinggung garis [tex]\displaystyle{y=\frac{4}{3}x}[/tex].

- Melalui titik [tex]\displaystyle{\left ( 4,~5\frac{1}{3} \right )}[/tex].

.

DITANYA

Tentukan persamaan lingkarannya.

.

PENYELESAIAN

Misal persamaan lingkarannya : [tex](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/tex].

Karena menyinggung sumbu x → r = |q| = q, sehingga :

[tex](x-p)^2+(y-q)^2=q^2[/tex]

Melalui titik [tex]\displaystyle{\left ( 4,~5\frac{1}{3} \right )}[/tex] :

[tex]\displaystyle{(4-p)^2+\left ( 5\frac{1}{3}-q \right )^2=q^2 }[/tex]

[tex]\displaystyle{16-8p+p^2+\frac{256}{9}-\frac{32}{3}q+q^2=q^2 }[/tex]

[tex]\displaystyle{16-8p+p^2+\frac{256}{9}-\frac{32}{3}q=0~~~...kedua~ruas~dikali~9 }[/tex]

[tex]\displaystyle{144-72p+9p^2+256-96q=0 }[/tex]

[tex]\displaystyle{96q=400-72p+9p^2 }[/tex]

[tex]\displaystyle{q=\frac{400-72p+9p^2}{96}~~~...(i) }[/tex]

.

Jari jari lingkaran :

[tex]\displaystyle{y=\frac{4}{3}x}[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{4}{3}x-y=0\left\{\begin{matrix}a=\frac{4}{3}\\ \\b=-1\\ \\c=0\end{matrix}\right.}[/tex]

[tex]\displaystyle{r=\left | \frac{ap+bq+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |}[/tex]

[tex]\displaystyle{q=\left | \frac{\frac{4}{3}p+(-1)q+0}{\sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^2+(-1)^2}} \right |}[/tex]

[tex]\displaystyle{q=\left | \frac{\frac{4}{3}p-q}{\sqrt{\frac{25}{9}}} \right |~~~...substitusi~pers.(i)}[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{400-72p+9p^2}{96}=\left | \frac{\frac{4}{3}p-\left ( \frac{400-72p+9p^2}{96} \right )}{\frac{5}{3}} \right |}[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{5}{3}\left ( \frac{400-72p+9p^2}{96} \right )=\left | \frac{4}{3}p-\left ( \frac{400-72p+9p^2}{96} \right ) \right |}[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{5}{3}\left ( \frac{400-72p+9p^2}{\cancel{96}} \right )=\left | \frac{128p-400+72p-9p^2}{\cancel{96}} \right |}[/tex]

[tex]\displaystyle{\frac{2000-360p+45p^2}{3}=|200p-400-9p^2|~~~...kedua~ruas~dikali~3}[/tex]

[tex]\displaystyle{2000-360p+45p^2=|600p-1200-27p^2|}[/tex]

.

Kemungkinan 1 :

[tex]\displaystyle{2000-360p+45p^2=600p-1200-27p^2}[/tex]

[tex]\displaystyle{72p^2-960p+3200=0}[/tex]

[tex]\displaystyle{8(9p^2-120p+400)=0}[/tex]

[tex]\displaystyle{(3p-20)^2=0}[/tex]

[tex]\displaystyle{3p=20}[/tex]

[tex]\displaystyle{p=\frac{20}{3}}[/tex]

.

Kemungkinan 2 :

[tex]\displaystyle{2000-360p+45p^2=-(600p-1200-27p^2)}[/tex]

[tex]\displaystyle{18p^2+240p+800=0}[/tex]

[tex]\displaystyle{2(9p^2+120p+400)=0}[/tex]

[tex]\displaystyle{(3p+20)^2=0}[/tex]

[tex]\displaystyle{3p=-20}[/tex]

[tex]\displaystyle{p=-\frac{20}{3}}[/tex] (tidak memenuhi karena pusat lingkaran berada di KW1)

.

Cari nilai q :

[tex]\displaystyle{q=\frac{400-72\left ( \frac{20}{3} \right )+9\left ( \frac{20}{3} \right )^2}{96} }[/tex]

[tex]\displaystyle{q=\frac{400-72\left ( \frac{20}{3} \right )+9\left ( \frac{20}{3} \right )^2}{96} }[/tex]

[tex]\displaystyle{q=\frac{10}{3} }[/tex]

.

Maka persamaa lingkarannya :

[tex](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/tex]

[tex]\displaystyle{\left ( x-\frac{20}{3} \right )^2+\left ( y-\frac{10}{3} \right )^2=\left ( \frac{10}{3} \right )^2 }[/tex]

.

KESIMPULAN

Persamaan lingkarannya adalah [tex]\displaystyle{\boldsymbol{\left ( x-\frac{20}{3} \right )^2+\left ( y-\frac{10}{3} \right )^2=\left ( \frac{10}{3} \right )^2} }[/tex] .

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

1. Mencari persamaan lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/29027081
2. Kedudukan garis dan lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/30147786
3. PGS pada titik di lingkaran : https://brainly.co.id/tugas/29521145

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Lingkaran

Kode Kategorisasi: 11.2.5.1

Kata Kunci : persamaan, lingkaran, garis, menyinggung

Jawaban:

terlampir ya

Penjelasan dengan langkah-langkah:

maaf kalau salah